Используем основное тригонометрическое тождество: sin2α + cos2α = 1. В нём известно значение синуса. Можно подставить его в тождество: cos2α = 1 - sin2α = 1 - (

840

841

)2 = 1 -

705600

707281

=

707281

707281

-

705600

707281

=

1681

707281

, откуда cos α =

41

841

.
Для нахождения тангенса угла α удобно использовать следующую формулу: tg α =

sin α

cos α

. И синус и косинус нам уже известен, таким образом можем подсчитать: tg α =

840

841

÷

41

841

=

840

41

, что и является ответом.
Эту задачу можно решить иначе. Можно увидеть, что есть сложности при вычислении значения косинуса угла: по данному значению синуса возникают достаточно сложные вычисления: возведения в квадрат, вычитания и затем взятие корня. Для того, чтобы упростить решение можно использовать другой способ: представим треугольник ABC с прямым углом B, в котором ищем косинус угла А. Чтобы синус угла A был равен

840

841

, можно принять стороны этого треугольника равными AC = 841, BC = 840. Тогда, для нахождения косинуса угла А необходимо найти неизвестную сторону AB. Применим теорему Пифагора: AC2 = AB2 + BC2, откуда: AB2 = AC2 - BC2 = 8412 - 8402. Чтобы не возводить в квадрат, применим формулу сокращённого умножения: AB2 = (841 - 840)×(841 + 840) = 1×1681, откуда: AB =

1681

= 41.
Теперь можно найти значение косинуса угла A: cos A =

41

841

, что совпадает с значением выше, но вычислено значительно проще.