Используем основное тригонометрическое тождество: sin2α + cos2α = 1. В нём известно значение синуса. Можно подставить его в тождество: cos2α = 1 - sin2α = 1 - (

396

565

)2 = 1 -

156816

319225

=

319225

319225

-

156816

319225

=

162409

319225

, откуда cos α =

403

565

.
Для нахождения тангенса угла α удобно использовать следующую формулу: tg α =

sin α

cos α

. И синус и косинус нам уже известен, таким образом можем подсчитать: tg α =

396

565

÷

403

565

=

396

403

, что и является ответом.
Эту задачу можно решить иначе. Можно увидеть, что есть сложности при вычислении значения косинуса угла: по данному значению синуса возникают достаточно сложные вычисления: возведения в квадрат, вычитания и затем взятие корня. Для того, чтобы упростить решение можно использовать другой способ: представим треугольник ABC с прямым углом B, в котором ищем косинус угла А. Чтобы синус угла A был равен

396

565

, можно принять стороны этого треугольника равными AC = 565, BC = 396. Тогда, для нахождения косинуса угла А необходимо найти неизвестную сторону AB. Применим теорему Пифагора: AC2 = AB2 + BC2, откуда: AB2 = AC2 - BC2 = 5652 - 3962. Чтобы не возводить в квадрат, применим формулу сокращённого умножения: AB2 = (565 - 396)×(565 + 396) = 169×961, откуда: AB =

169×961

= 13×31 = 403.
Теперь можно найти значение косинуса угла A: cos A =

403

565

, что совпадает с значением выше, но вычислено значительно проще.