Используем основное тригонометрическое тождество: sin2α + cos2α = 1. В нём известно значение косинуса. Можно подставить его в тождество: sin2α = 1 - cos2α = 1 - (

400

689

)2 = 1 -

160000

474721

=

474721

474721

-

160000

474721

=

314721

474721

, откуда sin α =

561

689

, что и является ответом.
Эту задачу можно решить иначе. Можно увидеть, что есть сложности при вычислении значения синуса угла: по данному значению косинуса возникают достаточно сложные вычисления: возведения в квадрат, вычитания и затем взятие корня. Для того, чтобы упростить решение можно использовать другой способ: представим треугольник ABC с прямым углом B, в котором ищем синус угла А. Чтобы косинус угла A был равен

400

689

, можно принять стороны этого треугольника равными AC = 689, AB = 400. Тогда, для нахождения синуса угла А необходимо найти неизвестную сторону BC. Применим теорему Пифагора: AC2 = AB2 + BC2, откуда: BC2 = AC2 - AB2 = 6892 - 4002. Чтобы не возводить в квадрат, применим формулу сокращённого умножения: BC2 = (689 - 400)×(689 + 400) = 289×1089, откуда: BC =

289×1089

= 17×33 = 561.
Теперь можно найти значение синуса угла A: sin A =

561

689

, что совпадает с значением выше, но вычислено значительно проще.