Используем основное тригонометрическое тождество: sin2α + cos2α = 1. В нём известно значение синуса. Можно подставить его в тождество: cos2α = 1 - sin2α = 1 - (

84

445

)2 = 1 -

7056

198025

=

198025

198025

-

7056

198025

=

190969

198025

, откуда cos α =

437

445

, что и является ответом.
Эту задачу можно решить иначе. Можно увидеть, что есть сложности при вычислении значения косинуса угла: по данному значению синуса возникают достаточно сложные вычисления: возведения в квадрат, вычитания и затем взятие корня. Для того, чтобы упростить решение можно использовать другой способ: представим треугольник ABC с прямым углом B, в котором ищем косинус угла А. Чтобы синус угла A был равен

84

445

, можно принять стороны этого треугольника равными AC = 445, BC = 84. Тогда, для нахождения косинуса угла А необходимо найти неизвестную сторону AB. Применим теорему Пифагора: AC2 = AB2 + BC2, откуда: AB2 = AC2 - BC2 = 4452 - 842. Чтобы не возводить в квадрат, применим формулу сокращённого умножения: AB2 = (445 - 84)×(445 + 84) = 361×529, откуда: AB =

361×529

= 19×23 = 437.
Теперь можно найти значение косинуса угла A: cos A =

437

445

, что совпадает с значением выше, но вычислено значительно проще.