Используем основное тригонометрическое тождество: sin2α + cos2α = 1. В нём известно значение косинуса. Можно подставить его в тождество: sin2α = 1 - cos2α = 1 - (

455

697

)2 = 1 -

207025

485809

=

485809

485809

-

207025

485809

=

278784

485809

, откуда sin α =

528

697

, что и является ответом.
Эту задачу можно решить иначе. Можно увидеть, что есть сложности при вычислении значения синуса угла: по данному значению косинуса возникают достаточно сложные вычисления: возведения в квадрат, вычитания и затем взятие корня. Для того, чтобы упростить решение можно использовать другой способ: представим треугольник ABC с прямым углом B, в котором ищем синус угла А. Чтобы косинус угла A был равен

455

697

, можно принять стороны этого треугольника равными AC = 697, AB = 455. Тогда, для нахождения синуса угла А необходимо найти неизвестную сторону BC. Применим теорему Пифагора: AC2 = AB2 + BC2, откуда: BC2 = AC2 - AB2 = 6972 - 4552. Чтобы не возводить в квадрат, применим формулу сокращённого умножения: BC2 = (697 - 455)×(697 + 455) = 242×1152, откуда: BC =

242×1152

=

2×121×2×576

=

4×121×576

= 2×11×24 = 528.
Теперь можно найти значение синуса угла A: sin A =

528

697

, что совпадает с значением выше, но вычислено значительно проще.