Используем основное тригонометрическое тождество: sin2α + cos2α = 1. В нём известно значение косинуса. Можно подставить его в тождество: sin2α = 1 - cos2α = 1 - (

459

509

)2 = 1 -

210681

259081

=

259081

259081

-

210681

259081

=

48400

259081

, откуда sin α =

220

509

.
Для нахождения тангенса угла α удобно использовать следующую формулу: tg α =

sin α

cos α

. И синус и косинус нам уже известен, таким образом можем подсчитать: tg α =

220

509

÷

459

509

=

220

459

, что и является ответом.
Эту задачу можно решить иначе. Можно увидеть, что есть сложности при вычислении значения синуса угла: по данному значению косинуса возникают достаточно сложные вычисления: возведения в квадрат, вычитания и затем взятие корня. Для того, чтобы упростить решение можно использовать другой способ: представим треугольник ABC с прямым углом B, в котором ищем синус угла А. Чтобы косинус угла A был равен

459

509

, можно принять стороны этого треугольника равными AC = 509, AB = 459. Тогда, для нахождения синуса угла А необходимо найти неизвестную сторону BC. Применим теорему Пифагора: AC2 = AB2 + BC2, откуда: BC2 = AC2 - AB2 = 5092 - 4592. Чтобы не возводить в квадрат, применим формулу сокращённого умножения: BC2 = (509 - 459)×(509 + 459) = 50×968, откуда: BC =

50×968

=

2×25×2×484

=

4×25×484

= 2×5×22 = 220.
Теперь можно найти значение синуса угла A: sin A =

220

509

, что совпадает с значением выше, но вычислено значительно проще.